THEORIE / MATHEMATIK

Brownians · Theorie & Mathematik

Brownsche Bewegung und Faber–Schauder-Reihe

Für die Standardbewegung W gilt W(0)=0 und Cov(W(s),W(t))=min(s,t). Die Lévy–Ciesielski-Darstellung verwendet einen linearen Anteil und dyadisch lokalisierte Dreiecksfunktionen.

Λ(u) = max(1 − |u|, 0)
s_j,k(t) = 2^−j/2−1 Λ(2^j+1t − 2k − 1)
W_J(t) = z_−1,0t + Σ_j=0…J Σ_{k=0…2ʲ−1} z_j,ks_j,k(t)

Eine Dreiecksfunktion lässt sich exakt mit ReLU(x)=max(x,0) ausdrücken. Die Parameter sind konstruiert und fest; es gibt keine trainierten Gewichte. Die Implementierung wertet kompakte Träger aus, statt eine große dichte Synthesematrix zu speichern.

Strukturierte Analyse

Auf dem internen dyadischen Gitter sind die Koeffizienten durch zweite Differenzen exakt bestimmt. l, m, r sind linkes Ende, Mittelpunkt und rechtes Ende des jeweiligen Trägers.

z_−1,0 = f(1)
z_j,k = 2^j/2[2f(m_j,k) − f(l_j,k) − f(r_j,k)]

Für ein abweichendes Beobachtungsgitter schreibt die Vorlage x = Rv mit einer Zweipunkt-Interpolationsmatrix R. Zuerst wird (RᵀR)v = Rᵀx als tridiagonales System gelöst, danach folgen die Differenzformeln. Die App verlangt mindestens K+1 Stützstellen und übernimmt diese strukturierte Analyse; keine gespeicherte dichte Inverse.

Endliche Modelle und Datenabbildung

Die mathematische Zufallsprozessdarstellung verwendet unabhängige standardnormalverteilte Koeffizienten. In dieser App werden gaußverteilte Beträge deterministisch aus einem getrennten AES-Teilschlüssel und dem synthetischen IV abgeleitet; jedes Vorzeichen trägt ein AES-verschlüsseltes Kanalbit. Es wird eine endliche Summe ausgewertet. Daraus folgt weder eine perfekte unendliche Prozessdarstellung noch ein Nachweis statistischer Unauffälligkeit.

J ist die größte enthaltene Skala, K = 2^J+1 die Koeffizientenzahl, N die Zahl gleichmäßig verteilter Stützstellen. Es gilt zwingend B = K: alle freien Gauß-Koordinaten beziehungsweise Syntheseatome werden benutzt. Der lineare Grundterm zählt ebenfalls als eigene Koordinate. Die Kanalbitzahl ist keine Eingabe. N begrenzt die auflösbare Skalentiefe; zusätzliches Oversampling bei festem J fügt keine neuen Atome hinzu.

Additives gaußsches Beobachtungsrauschen

y = x + η, ηᵢ unabhängig ~ N(0,σ²)
Für Brownian: ẑ = Ay = z + Aη
Var(ẑᵢ−zᵢ) = σ²·(AAᵀ)ᵢᵢ

Der App-Knopf verändert alle tatsächlichen Samples vor dem Analyzer, einschließlich der Endpunkte. Die gewählte Varianz gilt pro Sample; die gemessene Varianz einer endlichen Realisierung kann abweichen. Der Seed macht den Labor-Rauschschritt reproduzierbar und wird vom Decoder nicht zur Rauschsubtraktion verwendet. Der deterministische saubere Generator bleibt unverändert.

Bei direkter dyadischer Brownian-Beobachtung gilt für einen Detailkoeffizienten der Skala j: Var=6·2ʲ·σ². Dichteres unabhängiges Sampling kann die strukturierte Rekonstruktion verbessern. Für ideal unabhängige standardnormale Koeffizienten ergibt sich vor der Kanaldecodierung die Modellprognose P(Bitfehlerᵢ)=arctan(√Var(ẑᵢ−zᵢ))/π. Bitfehler sind im Allgemeinen korreliert; daraus wird keine unabhängige Nachrichtenfehlerrate berechnet.

Für fractional und farbige Inkremente gilt die Brownian-Formel nicht unverändert: Produktnäherung beziehungsweise inverse Summation verändern Fehler und Korrelationen. Der Knopf stört jeweils das dargestellte Signal. Bei farbigem Rauschen sind dies die Inkremente; deren Störung wird beim Empfang mit aufsummiert.