THEORIE / MATHEMATIK
fractional Brownians · Theorie & Mathematik
Fraktionale Brownsche Bewegung
Der Hurst-Parameter H liegt zwischen null und eins. Er steuert Skalierung und Abhängigkeit der Inkremente. H=1/2 entspricht theoretisch der klassischen Brownschen Bewegung; H>1/2 liefert positiv, H<1/2 negativ korrelierte getrennte Inkremente.
BH(ct) ≍ cHBH(t)
Das ist die Zielprozessfamilie. Die endliche, kompakt abgeschnittene konstruktive Darstellung ist eine Näherung und besitzt nicht automatisch exakt diese Kovarianz.
Meyer-Kernel und konstruktives ReLU-Netz
aj,k(t) = 2−jH[gε,H(2jt−k) − gε,H(−k)]
X(t) ≈ Σ(j,k) zj,kaj,k(t), j = −1,…,J
Die originale Meyer-Fourierfunktion wird mit 16.384 Frequenzstützstellen integriert. Auf einem kompakten Träger entsteht gε,H aus Dreiecksfunktionen, lokalen Taylor-Koeffizienten und konstruktiven ReLU-Produktnetzen. Automatische Parameter: m=4, r=5, C=3, ε=0,1·K−H. Für jedes H und K entstehen eigene feste Kernelkoeffizienten.
Sℓ(x) = |x| − Σq=1…ℓ4−q T∘q(|x|)
T(u) = 2ReLU(u) − 4ReLU(u−½) + 2ReLU(u−1)
Die App übernimmt auch das näherungsweise Produkt mit den Gauß-Koeffizienten. Sie ersetzt es nicht durch eine exakte Multiplikation. Deshalb bleibt die konstruktive Synthese gegenüber ihrer linearen Atomdarstellung leicht nichtlinear.
Semifinal Meyer Analysis
Aus den tatsächlichen endlichen Syntheseatomen entsteht das Gram-System. Die Massmatrix Q integriert Produkte stückweise linear rekonstruierter Funktionen exakt auf jeder Gitterzelle.
(G + 10−12I) ẑ = b
Dies entspricht dem Modus scaffolding_biorthogonal der Vorlage. Die App löst das System zur Laufzeit und speichert keine dichte inverse Matrix. Der formale rohe Ψ−H-Analysepfad wird nicht als zuverlässige diskrete Inverse eingesetzt. Die Produktnäherung und endliche Regularisierung verursachen echte Restfehler; auch bei fehlerfrei gespeicherten Samples können Vorzeichenfehler auftreten. Die optionale Kanalcodierung arbeitet anschließend auf den Softwerten.
Endliche Modelle und Datenabbildung
Die mathematische Zufallsprozessdarstellung verwendet unabhängige standardnormalverteilte Koeffizienten. In dieser App werden gaußverteilte Beträge deterministisch aus einem getrennten AES-Teilschlüssel und dem synthetischen IV abgeleitet; jedes Vorzeichen trägt ein AES-verschlüsseltes Kanalbit. Es wird eine endliche Summe ausgewertet. Daraus folgt weder eine perfekte unendliche Prozessdarstellung noch ein Nachweis statistischer Unauffälligkeit.
J ist die größte enthaltene Skala, K = 2J+1 die Koeffizientenzahl, N die Zahl gleichmäßig verteilter Stützstellen. Es gilt zwingend B = K: alle freien Gauß-Koordinaten beziehungsweise Syntheseatome werden benutzt. Der lineare Grundterm zählt ebenfalls als eigene Koordinate. Die Kanalbitzahl ist keine Eingabe. N begrenzt die auflösbare Skalentiefe; zusätzliches Oversampling bei festem J fügt keine neuen Atome hinzu.
Additives gaußsches Beobachtungsrauschen
Für Brownian: ẑ = Ay = z + Aη
Var(ẑᵢ−zᵢ) = σ²·(AAᵀ)ᵢᵢ
Der App-Knopf verändert alle tatsächlichen Samples vor dem Analyzer, einschließlich der Endpunkte. Die gewählte Varianz gilt pro Sample; die gemessene Varianz einer endlichen Realisierung kann abweichen. Der Seed macht den Labor-Rauschschritt reproduzierbar und wird vom Decoder nicht zur Rauschsubtraktion verwendet. Der deterministische saubere Generator bleibt unverändert.
Bei direkter dyadischer Brownian-Beobachtung gilt für einen Detailkoeffizienten der Skala j: Var=6·2ʲ·σ². Dichteres unabhängiges Sampling kann die strukturierte Rekonstruktion verbessern. Für ideal unabhängige standardnormale Koeffizienten ergibt sich vor der Kanaldecodierung die Modellprognose P(Bitfehlerᵢ)=arctan(√Var(ẑᵢ−zᵢ))/π. Bitfehler sind im Allgemeinen korreliert; daraus wird keine unabhängige Nachrichtenfehlerrate berechnet.
Für fractional und farbige Inkremente gilt die Brownian-Formel nicht unverändert: Produktnäherung beziehungsweise inverse Summation verändern Fehler und Korrelationen. Der Knopf stört jeweils das dargestellte Signal. Bei farbigem Rauschen sind dies die Inkremente; deren Störung wird beim Empfang mit aufsummiert.